МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Министерство образования Пензенской области
Администрация Белинского района
МОУ СОШ им. И.И. Пушанина с. Пушанина Белинского района Пензенской
области
Рассмотрено на заседании
методического объединения
Протокол №1 от 27.08.2024 г.
Принято на заседании
педагогического совета
Протокол №1 от 28.08.2024 г.
«Утверждаю»
Директор МОУ СОШ
им. И.И.Пушанина с.Пушанина
_____________Мирошкина Е.В.
Приказ №93/12 от 30.08.2024 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебного курса
«Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения
высшей математики»
10 – 11 класс
1
Пояснительная записка
Программа учебного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей
математики» ориентирована на учащихся, закончивших девять классов общеобразовательной
школы, которые с интересом изучали математику, имеют хороший уровень математической
подготовки и связывают с ней дальнейшее обучение в ВУЗе.
Курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе
решается и разбирается большое число сложных задач, многие из которых понадобятся при учебе в
высшей школе.
Цели курса – создание условий для реализации профильного обучения; обеспечить
преемственность средней и высшей школы, вооружить учащихся простым и эффективным
средством решения более широкого, по сравнению с общеобразовательной школой, класса задач;
обеспечить для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения математики;
формирование целостной системы математических знаний и базы для продолжения
математического образования в ВУЗах различного профиля.
Задачи курса:
Расширить сферу математических знаний учащихся;
Расширить представление учащихся о многочленах, показать их роль и место в развитии теории
решения уравнений и неравенств;
Обобщить основные методы решения уравнений, неравенств различных видов, а также систем
уравнений и неравенств;
Дать учащимся представления о задачах с параметрами, рассмотреть основные типы и методы
решения задач с параметрами;
Познакомить учащихся с математикой как с общекультурной ценностью, выработать понимание
того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя;
Развивать навыки организации умственного труда и самообразования.
Место элективного курса в школьном учебном плане
В учебном плане школы на изучение элективного курса в 10 и 11 классах отводится 68 часов (1 час
в неделю), в т.ч.
10 класс – 34 часа, 11 класс – 34 часа.
Формы организации учебного процесса
Предусмотрены следующие формы занятий: лекция, беседа, семинар, работа в группах,
практикум. Виды учебной деятельности: самостоятельная работа, решение задач, моделирование,
анализ.
Формы контроля: написание рефератов, на предложенные учителем темы, индивидуальные и
творческие задания, в которых необходимо провести небольшое самостоятельное исследование,
итоговый зачет.
Содержание курса
10 класс
Тема 1. Логика алгебраических задач (7ч).
Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых
неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и
совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.
2
Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (18ч).
Представление о целых рациональных выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z.
Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и
о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и теорема Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислений комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с
повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трёхчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трёхчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечётной степени.
Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3 + Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и
необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Угадывание корней. Разложение. Метод неопределённых коэффициентов. Схема разложения
Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением.
Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приёмы установления иррациональности и рациональности чисел.
Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (9ч).
Представление
о
рациональных
алгебраических
выражениях.
Симметрические,
кососимметрические, возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к
совокупности систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. стандартные
неравенства. Метод областей.
11 класс
Тема 4 Рациональные алгебраические системы (5ч).
Уравнение с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной.
Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными.
Замена переменных в системах уравнений.
Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении
симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней
через элементарные симметрические многочлены.
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.
Метод разложения при решении систем уравнений.
Метод оценок и итераций при решении систем уравнений.
Оценка значений переменных.
Сведение уравнений к системам.
Системы с тремя переменными. Основные методы.
Системы Виета с тремя переменными.
Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи (14ч).
3
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие арифметических и
алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными
радикалами. Замена переменной.
Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства сложнее уравнений?
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в
неравенствах (Сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков
знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных
неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнение с модулями. Раскрытие модулей - стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии
модулей.
Неравенства с модулями.
Простейшие неравенства. Схема освобождения от модулей в
неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах (правила
знаков).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.
Смешанные системы с двумя переменными
Тема 6. Алгебраические задачи с параметрами (15ч).
Что такое задача с параметрами? Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств
решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметрами. Критические значения параметра.
Метод интервалов в задачах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно
параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами. Идея
метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с
параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».
Метод «Оха» при решении рациональных иррациональных алгебраических неравенств и систем
неравенств с параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод
координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Освоение учебного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей
математики» должно обеспечивать достижение на уровне среднего общего образования следующих
личностных, метапредметных и предметных образовательных результатов:
4
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра
с точки зрения высшей математики» характеризуются:
Гражданское воспитание:
сформированностью гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена
российского общества, представлением о математических основах функционирования различных
структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр.), умением
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением.
Патриотическое воспитание:
сформированностью российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему
российской математики, ценностным отношением к достижениям российских математиков и
российской математической школы, к использованию этих достижений в других науках, технологиях,
сферах экономики.
Духовно-нравственного воспитания:
осознанием духовных ценностей российского народа; сформированностью нравственного сознания,
этического поведения, связанного с практическим применением достижений науки и деятельностью
учёного; осознанием личного вклада в построение устойчивого будущего.
Эстетическое воспитание:
эстетическим отношением к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов,
задач, решений, рассуждений; восприимчивостью к математическим аспектам различных видов
искусства.
Физическое воспитание:
сформированностью умения применять математические знания в интересах здорового и
безопасного образа жизни, ответственного отношения к своему здоровью (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность); физического
совершенствования, при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью.
Трудовое воспитание:
готовностью к труду, осознанием ценности трудолюбия; интересом к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и её приложениями, умением совершать
осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы; готовностью
и способностью к математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни;
готовностью к активному участию в решении практических задач математической направленности.
Экологическое воспитание:
сформированностью экологической культуры, пониманием влияния социально-экономических
процессов на состояние природной и социальной среды, осознанием глобального характера
экологических проблем; ориентацией на применение математических знаний для решения задач в
области окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных последствий для
окружающей среды.
Ценности научного познания:
сформированностью мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и
общественной практики, пониманием математической науки как сферы человеческой деятельности,
этапов её развития и значимости для развития цивилизации; овладением языком математики и
математической культурой как средством познания мира; готовностью осуществлять проектную и
исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Метапредметные результаты освоения программы учебного курса «Алгебра плюс: элементарная
алгебра с точки зрения высшей математики» характеризуются овладением универсальными
5
познавательными действиями, универсальными коммуникативными действиями, универсальными
регулятивными действиями.
1) Универсальные познавательные действия, обеспечивают формирование базовых когнитивных
процессов обучающихся (освоение методов познания окружающего мира; применение логических,
исследовательских операций, умений работать с информацией).
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий,
отношений между понятиями; формулировать определения понятий; устанавливать существенный
признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие; условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры; обосновывать
собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения,
выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания; формулировать
вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное, формировать
гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению
особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между
объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого
наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его
развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения
задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и
интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать
графически;
оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
2) Универсальные коммуникативные действия, обеспечивают сформированность социальных
навыков обучающихся.
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения;
ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения
по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой
задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с суждениями
6
других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта;
самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории.
Сотрудничество:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении
учебных задач; принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной
работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать
мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и
иные); выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды;
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
3) Универсальные регулятивные действия, обеспечивают формирование смысловых установок и
жизненных навыков личности.
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся
ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с
учётом новой информации.
Самоконтроль:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и
мыслительных процессов, их результатов; владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и
результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в
деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или
недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Освоение учебного курса «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей
математики» на уровне среднего общего образования должно обеспечивать достижение следующих
предметных образовательных результатов:
Определение стандартного вида многочлена от нескольких переменных;
Определение стандартной формы целых рациональных выражений;
Применение обобщенной теоремы Виета для высших степеней;
Применение общих методов решения уравнений и неравенств: метод замены переменных, метод
оценки, метод интервалов, метод областей;
Применение общих методов решения систем: метод подстановки, метод исключения
переменной, метод замены переменной, метод разложения, метод оценок;
Осуществление эквивалентных и неэквивалентных преобразований иррациональных
выражений;
Раскрытия модуля в уравнениях и неравенствах;
Применение основных методов решения различных типов задач с параметрами.
Выполнение деления многочлена на многочлен;
Нахождение корней многочлена с использованием теоремы Безу и следствий из нее, с
использованием метода замены переменной;
Решение дробно-рациональных уравнений методом замены переменной;
7
Решение дробно – рациональных неравенств методом сведения их к совокупности систем,
методом интервалов, методом оценки;
Изображение множества решений неравенства двумя переменными на координатной
плоскости;
Решение систем и неравенств различными способами;
Решение иррациональных уравнений и неравенств методом сведения к системам
совокупности систем, освобождение от радикалов, методом оценки, методом интервалов;
Применение метода интервалов, метода разложения, метода горизонтальных сечений
методом областей при решении задач с параметрами.
Тематическое планирование
№п/п
Количество
часов
Тема
10 класс
Логика алгебраических задач.
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
Всего
11 класс
Рациональные алгебраические системы
Иррациональные алгебраические задачи
Алгебраические задачи с параметрами
Всего
1.
2.
3.
1.
2.
3.
7
18
9
34
5
14
15
34
Календарно-тематическое планирование
10 класс
п/п
дата
по плану
по
факту
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Содержание учебного материала
1.
Логика алгебраических задач (7 ч).
Элементарные алгебраические задачи как предложения с
переменными.
Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения и неравенства с переменной.
Сложные (составные) алгебраические задачи.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости
Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (18 ч).
Представление о целых рациональных выражениях.
Деление многочленов с остатком.
Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу.
Полностью разложимые многочлены и теорема Виета.
Общая теорема Виета.
Элементы перечислений комбинаторики.
Квадратный трёхчлен.
8
кол-во
часов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
3.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Квадратичные неравенства.
Кубические многочлены.
Теорема о существовании корня у полинома нечётной степени.
Куб суммы/разности.
Формула Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3 + Ах = В.
Уравнения четвёртой степени.
Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Метод неопределённых коэффициентов.
Полиномиальные уравнения высших степеней.
Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (9 ч).
Представление о рациональных алгебраических выражениях.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства.
Общая схема решения методом сведения к совокупности систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических
неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при
решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Метод областей.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11 класс
дата
п/п
Содержание учебного материала
по
по плану
факту
4.
1.
2.
3.
4.
5.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Рациональные алгебраические системы (5ч).
Симметрические выражения от двух переменных.
Системы Виета и симметрические системы с двумя
переменными.
Метод оценок и итераций при решении систем уравнений.
Сведение уравнений к системам.
Системы Виета с тремя переменными.
Иррациональные алгебраические задачи (14ч).
Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами.
Метод
эквивалентных
преобразований
уравнений
с
квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к
системам.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование
однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства.
9
кол-во
часов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Эквивалентные преобразования неравенств.
«Дробно-иррациональные» неравенства.
Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении
неравенств.
Уравнения и неравенства с модулями.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и
дробных неравенствах (правила знаков).
Иррациональные алгебраические системы.
6.
Алгебраические задачи с параметрами (15ч).
Рациональные задачи с параметрами.
Иррациональные задачи с параметрами.
Задачи с модулями и параметрами.
Метод интервалов в задачах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами.
Системы с параметрами.
Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений)
в задачах с параметрами. Идея метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных
алгебраических уравнений с параметрами.
Метод «Оха» при решении рациональных иррациональных
алгебраических неравенств и систем неравенств с
параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных
неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами.
Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с
параметрами.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Учебно-методическое обеспечение курса
1.
С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа, 10 класс. – М.: Просвещение, 2008.
2.
С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа, 11 класс. – М.: Просвещение, 2008.
3.
С.М. Саакян, А. М. Гольдман, Д. В. Денисов. Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11
классов. – М.: Просвещение, 1990.
4.
В. И. Заляпин, Ю. Г. Малиновский, В. А. Могильницкий. Математика. В помощь
поступающим. – Челябинск: Издательство Татьяны Лурье, 2000.
5.
В.А.Антонов, П. А. Ческидов. Математика. Основные методы решения задач.Часть1 –
Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000.
6.
В.А.Антонов, П. А. Ческидов. Математика. Основные методы решения задач.Часть2 –
Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2001.
7.
А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Алгебраический тренажер. – М.: Илекса, 2007.
10
8.
Л. Я. Фальке и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе. – М.: Народное
образование, 2005.
9.
А. М. Титаренко. Математика. 6000 задач и примеров, 9-11 кассы. – Эксмо, 2007.
11
